3-1. 向量空間

Define Vector Space

$V \ne \emptyset$ , $F$ : $field$ , 定義二運算

$V$ : 向量的集合; $F$ : 純量的集合，非 $R$ 即 $C$

滿足以下十個公設:

(1) $\forall \vec{u}$ , $\vec{v} \in V$ , $\vec{u}$ + $\vec{v} \in V$
(2) $\forall c \in F$ , $\forall \vec{v} \in V$ , $c\vec{v} \in V$

(1) 向量加法的封閉性
(2) 純量積的封閉性
(3) $\forall \vec{u}$ , $\vec{v} \in V$ , $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = $\vec{v}$ + $\vec{u}$
(4) $\forall \vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w} \in V$ , ( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ) + $\vec{w}$ = $\vec{v}$ + ( $\vec{u}$ + $\vec{w}$ )
(5) $\exists \vec{0} \in V$ s.t. $\forall \vec{v} \in V$ , $\vec{v}$ + $\vec{0}$ = $\vec{v}$
(6) $\forall \vec{v} \in V$ , $\exists$ (- $\vec{v}$ ) $\in V$ s.t. $\vec{v}$ + (- $\vec{v}$ ) = $\vec{0}$

向量加法的:
(3) 交換性
(4) 結合性
(5) 單位元素
(6) 反元素
(7) $\forall c \in F$ , $\forall \vec{u}$ , $\vec{v} \in V$ , $c$ ( $\vec{u} + \vec{v}$ ) = $c\vec{u}$ + $c\vec{v}$
(8) $\forall c$ , $d \in F$ , $\forall \vec{v} \in V$ , ( $c$ + $d$ ) $\vec{v}$ = $c\vec{v}$ + $d\vec{v}$
(9) $\forall c$ , $d \in F$ , $\forall \vec{v} \in V$ , $c$ ( $d\vec{v}$ ) = ( $cd$ ) $\vec{v}$
(10) $\forall \vec{v} \in V$ , $1 \cdot \vec{v}$ = $\vec{v}$

純量積的:
(7) 向量加法分配性
(8) 純量加法分配性("+": 第一個為純量加, 第二個為向量加)
(9) 乘法結合性
，與
(10) 單位純量積的不變性

則稱 $V$ 為佈於 $F$ 的向量空間(vector space over $F$ )，有時會將 $V$ 記作 ( $V$ , +, $\cdot$ ) 以強調其運算符號

Define: $V$ = $F^n$ = { ( $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ ) | $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n \in F$ }

( $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_n$ ): n-tuple
$V$ $V$ 上定義 + 及 $\cdot$ $\cdot$ : $x$ $x$ = ( $x_1$ $x^{ 1 }$ , $x_2$ $x^{ 2 }$ , ..., $x_n$ $x^{ n }$ ), $y$ $y$ = ( $y_1$ $y^{ 1 }$ , $y_2$ $y^{ 2 }$ , ..., $y_n$ $y^{ n }$ ), $\alpha \in F$ $α \in F$
- $x$ + $y$ = ( $x_1$ + $y_1$ , $x_2$ + $y_2$ , ..., $x_n$ + $y_n$ )
- $\alpha \cdot x$ = ( $\alpha x_1$ , $\alpha x_2$ , ..., $\alpha x_n$ )
當 $F$ = $R$ 或 $C$ 時, 稱 $V$ = $R^n$ 或 $C^n$ 為實或複歐式空間

Define: $V$ = $P$ = { $P$ | $P$ 為佈於 $F$ 之 polynomial }, 有時記作 $P$ ( $F$ ) 或 $F$ [ $x$ ]

$P$ : 函數即向量，但不要試著根據其定義畫出空間的座標圖！
$V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 多項式的加法與純量積, $\forall f$ , $g \in V$ , $\alpha \in F$
- ( $f$ + $g$ )( $x$ ) = $f$ ( $x$ ) + $g$ ( $x$ )
- ( $\alpha f$ )( $x$ ) = $\alpha f$ ( $x$ )
$^{ex.} p$ ( $x$ ) = $2$ + $3x$ + $4x^2$ ; $q$ ( $x$ ) = $5$ - $6x$ + $3x^2$ + $4x^3$
$\Rightarrow p$ ( $x$ ) + $q$ ( $x$ ) = $7$ - $3x$ + $7x^2$ + $4x^3$
$\Rightarrow 5$ ( $p$ ( $x$ )) = $10$ + $15x$ + $20x^2$

Define: $V$ = $P_n$ = { $f \in P$ | $\deg$ ( $f$ ) $\le n$ }, 有時記作 $P_n$ ( $F$ ) 或 $F_n$ [ $x$ ]

不能是 " $\deg$ ( $f$ ) = $n$ ": $^{ex.} p$ ( $x$ ) = $3$ + $x^2$ ; $q$ ( $x$ ) = $5x$ - $x^2$
$\Rightarrow p$ ( $x$ ) + $q$ ( $x$ ) = $3$ + $5x$ , $\deg$ = $1 \ne 2$
$V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 多項式的加法與純量積
n 次多項式空間為多項式空間之子空間

Define: $V$ = $\mathcal{F}$ ( $D$ , $F$ ) = { $f$ | $f$ : $D \rightarrow F$ function }

亦不要試著根據其定義畫出空間的座標圖！
$V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 函數的加法與純量積

$^{ex.} p$ ( $x$ ) = $2x$ + $\sin$ ( $x$ ); $q$ ( $x$ ) = $5x$ + $\sqrt{x}$
$\Rightarrow p$ ( $x$ ) + $q$ ( $x$ ) = $7x$ + $\sin$ ( $x$ ) + $\sqrt{x}$

Define: $V$ = $\mathcal{C}$ [ $a$ , $b$ ] = { $f$ | $f$ : [ $a$ , $b$ ] $\rightarrow F$ continuous function }

[ $a$ , $b$ ]: $a$ 至 $b$ 之區間
$V$ 上定義 + 及 $\cdot$ : 函數的加法與純量積