4-1. 線性映射

Define Linear Mapping

$V$, $V'$: vector spaces over $F$, $T$: $V \rightarrow V'$ 為一 function 滿足

• $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $T$($\vec{u}$ + $\vec{v}$) = $T$($\vec{u}$) + $T$($\vec{v}$)
• $\forall c \in F$, $\forall \vec{v} \in V$, $T$($c \vec{v}$) = $c T$($\vec{v}$)

則稱 $T$ 為 $V$ 至 $V'$ 之一線性轉換(linear transformation)或線性映射(linear mapping)，或簡稱 $T$ 為線性(linear)

Properties of Linear Mapping

• $T$: $V \rightarrow V$ linear, 稱 $T$ 為一線性算子(linear operator)
• $T$: $V \rightarrow F$ linear, 稱 $T$ 為一線性泛涵(linear functional)

  $^{ex.}$ trace of matrix is a linear functional.

• $I_V$: $V \rightarrow V$, $I_V$($\vec{v}$) = $\vec{v}$, $\forall \vec{v} \in V$, 稱為 $V$ 上的單位映射函數(identity mapping)
• $T_0$: $V \rightarrow V'$, $T_0$($\vec{v}$) = $\vec{0}$, $\forall \vec{v} \in V$, 稱為零映射函數(zero mapping), 記作 $O$

線性映射的充要條件

$T$: $V \rightarrow V'$ linear $\Leftrightarrow \forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $T$($c \vec{u}$ + $d \vec{v}$) = $T$($c \vec{u}$) + $T$($d \vec{v}$)

線性映射的必要條件

$T$: $V \rightarrow V'$ linear $\Rightarrow$

1. $T$($\vec{0}$) = $\vec{0}$

   by $T$($c \vec{v}$) = $c T$($\vec{v}$), $c$ = $0$

2. $T$($- \vec{v}$) = $- T$($\vec{v}$)

   by $T$($c \vec{v}$) = $c T$($\vec{v}$), $c$ = $- 1$

3. $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in V$, $T$($\vec{u}$ - $\vec{v}$) = $T$($\vec{u}$) - $T$($\vec{v}$)

Theorem of Basis with Linear Mapping

$V$, $V'$: vector spaces over $F$, $\beta$ = { $\vec{v_1}$, ..., $\vec{v_n}$ } 為 $V$ 之一 basis, $\vec{w_1}$, ..., $\vec{w_n} \in V'$, 則 $\exists$ 唯一 $T$: $V \rightarrow V'$ linear s.t. $T$($\vec{v_1}$) = $\vec{w_1}$, ..., $T$($\vec{v_n}$) = $\vec{w_n}$

當一個線性映射對某一組基底的對應決定後，則整個線性映射便唯一決定

Theorem of Matrix Transformation

若 $T$: $F^n \rightarrow F^m$ linear, 則 $\exists$ 唯一 $A \in F^{m \times n}$ s.t. $T$($\vec{x}$) = $A \vec{x}$, $\forall \vec{x} \in F^n$, 其中 $A$ = [ $T$($\vec{e_1}$) $T$($\vec{e_1}$) ... $T$($\vec{e_n}$) ] 又可稱為 $T$ 之標準矩陣(standard matrix)