3-4. 基底與維度

Define Basis and Dimension

$V$: vector space over $F$, $S \subseteq V$, 滿足

• $S$ 生成 $V$: $span$($S$) = $V$

  為目的，保證存在性

• $S$ 為 LI

  為手段，保證唯一性

則稱 $S$ 為 $V$ 之一組基底(basis)，且稱 $S$ 的向量個數為 $V$ 的維度(dimension)，記作 dim($V$)

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

• 基底個數未必唯一，但維度必唯一

Standard Basis of Each Vector Spaces

• $V$ = $F^n$, $\beta$ = { $\vec{e_1}$ = ($1$, $0$, ..., $0$), $\vec{e_2}$ = ($0$, $1$, ..., $0$), ..., $\vec{e_n}$ = ($0$, $0$, ..., $1$) } $\Rightarrow$ dim($F^n$) = $n$
• $V$ = $F^{m \times n}$, $\beta$ = { $E_{ij}$ | $1 \le i \le m$, $1 \le j \le n$ } $\Rightarrow$ dim($F^{m \times n}$) = $mn$
• $V$ = $P$, $\beta$ = { $1$, $x$, $x^2$, ... } $\Rightarrow$ dim($P$) = $\infty$

  無限維向量空間(infinite-dimensional vector space)

• $V$ = $P^n$, $\beta$ = { $1$, $x$, $x^2$, ..., $x^n$ } $\Rightarrow$ dim($P^n$) = $n$ + $1$
• $V$ = $F$, $\beta$ = { $1$ } $\Rightarrow$ dim($F$) = $1$
• $V$ = { $\vec{0}$ }, $\beta$ = $\emptyset \Rightarrow$ dim({ $\vec{0}$ }) = $0$

  唯一一個維度零的向量空間

Theorem of Basis

$V$: vector space over $F$, $\beta$ = { $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$, ..., $\vec{v_n}$ } 為 $V$ 之一組 basis $\Leftrightarrow \forall \vec{v} \in V$, $\vec{v}$ 可唯一寫成 $\beta$ 中向量之 LC

生成裁減定理

$V$: vector space over $F$, $S$ 生成 $V$, 若 $S$ 不為 LI, 則 $\exists \vec{u} \in S$ s.t. $S$ - { $\vec{u}$ } 仍生成 $V$

獨立擴增定理

$V$: vector space over $F$, $S$ 為 LI, 若 $S$ 不生成 $V$, 則 $\exists \vec{u} \notin span$($S$) (or $\notin S$) s.t. $S \cup$ { $\vec{u}$ } 仍為 LI

Properties of Basis and Dimension with Span and LI

• $S$ 生成 $V$ 且 $S'$ 為 LI $\Rightarrow |S'| \le |S|$
• 基底為最小生成集(minimal spanning set)且最大獨立集(maximal linearly independent set)
• dim($V$) = $n$,
  • $S$ 生成 $V \Rightarrow |S| \ge n$, $|S| < n \Rightarrow S$ 不生成 $V$

    $|S| \ge n \nRightarrow S$ 生成 $V$

  • $S$ 為 LI $V \Rightarrow |S| \le n$, $|S| > n \Rightarrow S$ 為 LD

    $|S| \le n \nRightarrow S$ 為 LI

• dim($V$) = $n$ = $|S|$, $S$ 生成 $V$ 或 $S$ 為 LI $\Rightarrow S$ 為 $V$ 之一組 basis