3-2. 子空間

Define Subspace

($V$, +, $\cdot$ ): vector space,

• $W \subseteq V$
• ($W$, +, $\cdot$ ): vector space

則稱 $W$ 為 $V$ 之子空間(subspace)

Theorem of 子空間的充要條件

已知 $V$: vector space, $W \subseteq V$, $W \ne \emptyset$, 則下列敘述等價:

1. $W$ 為 $V$ 的子空間
2. $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in W$, $\vec{u}$ + $\vec{v} \in W$
3. $\forall c \in F$, $\forall \vec{v} \in W$, $c\vec{v} \in W$

4. $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in W$, $c\vec{u}$ + $d\vec{v} \in W$

   Corollary of 2. & 3.

5. $\forall c_i \in F$, $v_i \in W$, $i$ = $1$, $2$, ..., $k$, $\displaystyle\sum_{i=1}^k c_i v_i \in W$

   Corollary of 4.

$\rightarrow$ 在 $W \subseteq V$ 和 $W \ne \emptyset$ 的條件下，只需驗證向量加法及純量積的封閉性即可證明 $W$ 為 $V$ 的子空間

Square of R 的三型子空間

1. 原點: {($0$, $0$)} = { $\vec{0}$ }: zero space $\rightarrow$ 點

   $\forall$ vector spaces, $\exists${ $\vec{0}$ }

2. 過原點直線 $\rightarrow$ 線

   若非直線，則不具純量積封閉性

3. $x-y$ 平面: $R^2$ $\rightarrow$ 面

   $V$ 為 $V$ 的子空間

Theorem of 兩子空間交集

$W_1$, $W_2$ are subspaces of $V$, 則 $W_1 \cap W_2$ is a subspace of $V$

1. $\subseteq$
2. $\ne \emptyset$
3. 封閉性

proof:

1. $W_1 \subseteq V$ 且 $W_2 \subseteq V$, 則 $W_1 \cap W_2 \subseteq V$
2. $\because \vec{0} \in W_1 \cap W_2$, $\therefore W_1 \cap W_2 \ne \emptyset$
3. $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in W_1 \cap W_2$,
   $\because \vec{u}$, $\vec{v} \in W_1$ 且 $W_1$ is a subspace of $V$, $\therefore c\vec{u}$ + $d\vec{v}$ = $W_1$
   $\because \vec{u}$, $\vec{v} \in W_2$ 且 $W_2$ is a subspace of $V$, $\therefore c\vec{u}$ + $d\vec{v}$ = $W_2$
   $\therefore c\vec{u}$ + $d\vec{v}$ = $W_1 \cap W_2$

兩子空間聯集

$W_1$, $W_2$ are subspaces of $V$, $W_1 \cap W_2$ 不一定為 $V$ 的 subspace

反例:

$V$ = $R^2$ has two subsapces $W_1$ and $W_2$,

• $W_1$ = { ($x$, $0$) | $x \in R$ },

  $x$ 軸

• $W_2$ = { ($0$, $y$) | $y \in R$ },

  $y$ 軸

but $W_1 \cup W_2$ is not a subspace of $V$.

$^{ex.}$ ($1$, $0$), ($0$, $1$) $\in W_1 \cup W_2$, but ($1$, $0$) + ($0$, $1$) = ($1$, $1$) $\notin W_1 \cup W_2$

Theorem of 兩子空間聯集

$W_1$, $W_2$ are subspaces of $V$, $W_1 \cap W_2 \Leftrightarrow W_1 \subseteq W_2$ or $W_2 \subseteq W_1$

Define 和空間 (Sum Space)

$W_1$, $W_2$ are subspaces of $V$, $W_1$ + $W_2$ = { $\vec{w_1}$ + $\vec{w_2}$ | $\vec{w_1} \in W_1$, $\vec{w_2} \in W_2$ }, 稱為 $W_1$, $W_2$ 之和空間(sum space)

Theorem of 和空間為 V 的子空間

$W_1$, $W_2$ are subspaces of $V$, 則 $W_1$ + $W_2$ is a subspace of $V$

proof:

1. $W_1 \subseteq V$ 且 $W_2 \subseteq V$, 則 $W_1$ + $W_2 \subseteq V$
2. $\because \vec{0}$ = $\vec{0}$ + $\vec{0} \in W_1$ + $W_2$, $\therefore W_1$ + $W_2 \ne \emptyset$
3. $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{u}$, $\vec{v} \in W_1$ + $W_2$,
   $\vec{u}$ = $\vec{u_1}$ + $\vec{u_2}$, $\vec{u_1} \in W_1$, $\vec{u_2} \in W_2$
   $\vec{v}$ = $\vec{v_1}$ + $\vec{v_2}$, $\vec{v_1} \in W_1$, $\vec{v_2} \in W_2$
   $\Rightarrow c\vec{u}$ + $d\vec{v}$ = $c$($\vec{u_1}$ + $\vec{u_2}$) + $d$($\vec{v_1}$ + $\vec{v_2}$) = ($c\vec{u_1}$ + $d\vec{v_1}$) + ($c\vec{u_2}$ + $d\vec{v_2}$) $\in W_1$ + $W_2$

Define 四個基本子空間

$A \in F^{m \times n}$,

• 核空間(kernel of $A$, nullspace, $N$($A$)):
  • $ker$($A$) = { $\vec{x}$: $n \times 1$ | $A\vec{x}$ = $\vec{0}$ }
  • 齊次解集，收集 $A\vec{x}$ = $\vec{0}$ 之 $\vec{x}$
• 行空間(column space):
  • $CS$($A$) = { $A\vec{x}$: $m \times 1$ | $\vec{x}$: $n \times 1$ }
  • 收集 $A\vec{x}$ = $\vec{y}$ 之 $\vec{y}$
• 左核空間(left kernel of $A$, left nullspace):
  • $Lker$($A$) = { $\vec{x}$: $1 \times m$ | $\vec{x}A$ = $\vec{0}$ }
  • 收集 $\vec{x}A$ = $\vec{0}$ 之 $\vec{x}$
• 列空間(row space):
  • $RS$($A$) = { $\vec{x}A$: $1 \times n$ | $\vec{x}$: $1 \times m$ }
  • 收集 $\vec{x}A$ = $\vec{y}$ 之 $\vec{y}$

$^{ex.} A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\Rightarrow$ $ker$($A$) $= \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ a \\ -a \end{bmatrix} | a \in R \end{Bmatrix}$;

$^{ex.} B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ? \\ ? \\ ? \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b \\ b \end{bmatrix}$ $\Rightarrow$ $CS$($B$) $= \begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} b \\ b \end{bmatrix} | b \in R \end{Bmatrix}$

Theorem of 四個基本子空間

$A \in F^{m \times n}$,

1. $ker$($A$) is a subspace of $F^{n \times 1}$
2. $CS$($A$) is a subspace of $F^{m \times 1}$

   $\forall \vec{y} \in CS$($A$) $\Leftrightarrow \vec{y}$ = $A\vec{x}$, for some $\vec{x}$

3. $Lker$($A$) is a subspace of $F^{1 \times m}$
4. $RS$($A$) is a subspace of $F^{1 \times n}$

proof:

1. $\because A \cdot \vec{0}$ = $\vec{0}$, $\therefore \vec{0} \in ker$($A$) $\Rightarrow ker$($A$) $\ne \emptyset$
   $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{x_1}$, $\vec{x_2} \in ker$($A$) $\Rightarrow A\vec{x_1}$ = $A\vec{x_2}$ = $\vec{0}$
   $\Rightarrow A$($c\vec{x_1}$ + $d\vec{x_2}$) = $cA\vec{x_1}$ + $dA\vec{x_2}$ = $c \cdot \vec{0}$ + $d \cdot \vec{0}$ = $\vec{0}$
   $\Rightarrow c\vec{x_1}$ + $d\vec{x_2} \in ker$($A$)

   3 同理

2. $\vec{0}$ = $A \cdot \vec{0} \in CS$($A$) $\Rightarrow CS$($A$) $\ne \emptyset$
   $\forall c$, $d \in F$, $\forall \vec{y_1}$, $\vec{y_2} \in CS$($A$) $\Rightarrow \vec{y_1}$ = $A\vec{x_1}$, $\vec{y_2}$ = $A\vec{x_2}$, $\vec{x_1}$, $\vec{x_2}$: $n \times 1$
   $\Rightarrow c\vec{y_1}$ + $d\vec{y_2}$ = $cA\vec{x_1}$ + $dA\vec{x_2}$ = $A$($c\vec{x_1}$ + $d\vec{x_2}$) $\in CS$($A$)

   4 同理

四個基本子空間 with Invertible Matrix

1. $ker$($B$) $\subseteq ker$($AB$), 當 $A$ is nonsingular 時, $ker$($B$) = $ker$($AB$)

   $AB\vec{x}$ = $\vec{0} \rightarrow B\vec{x}$ = $\vec{0}$

2. $Lker$($A$) $\subseteq Lker$($AB$), 當 $B$ is nonsingular 時, $Lker$($A$) = $Lker$($AB$)
3. $CS$($AB$) $\subseteq CS$($A$), 當 $B$ 為可逆時, $CS$($AB$) = $CS$($A$)
4. $RS$($AB$) = $RS$($B$)

四個基本子空間 with Row and Column Equivalence

$A$, $B \in F^{m \times n}$,

1. $A$ 列等價於 $B$, 則
   • $ker$($A$) = $ker$($B$)
   • $RS$($A$) = $RS$($B$)
2. $A$ 行等價於 $B$, 則
   • $Lker$($A$) = $Lker$($B$)
   • $CS$($A$) = $CS$($B$)